Band Theory and Schrödinger's Equation (BN)
আমরা যারা ইন্টারমিডিয়েট এ পদার্থবিজ্ঞান ২য় পত্র পড়েছি তারা সবাই হয়ত ইতোমধ্যে সেমিকন্ডাক্টর ও ইলেক্ট্রনিক্স অধ্যায় থেকে ব্যান্ড তত্ত্ব সম্পর্কে পড়েছি। সেমিকন্ডাক্টর চ্যাপ্টারের একদম শুরুর টপিক ছিল ব্যান্ড তত্ত্ব। তাই এটা একদম মুখস্থ করা ছিল যেন অত্যাবশকীয়। যা-ই হোক, ব্যান্ড থিওরিকেই আমরা এখন শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের সাহায্যে ব্যাখা করব। অর্থাৎ এই আর্টিকেলটি সম্পূর্ণ গণিত, ইকুয়েশন দিয়ে পরিপূর্ণ থাকবে। তারপরও চেষ্টা করব যথাসম্ভব বোধগম্য ভাষায় বর্ণনা দেয়ার।
ব্যান্ড তত্ত্ব বা Band Theory শুরু করবার আগে আমরা একটা ছোট জিনিস মনে করার চেষ্টা করব। আমরা সবাই জানি যে পরমাণুর ভেতরে ইলেক্ট্রন নিউক্লিয়াসকে কেন্দ্র করে নির্দিষ্ট কক্ষপথে আবর্তন করে। এবং কক্ষপথের নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধ রয়েছে একই সাথে রয়েছে ইলেক্ট্রনের নির্দিষ্ট শক্তি। যা নির্ভর করে কক্ষপথ ও সেই কক্ষপথের ব্যাসার্ধের ওপর। এবং ইলেক্ট্রনকে অতিরিক্ত শক্তি দিলে তা পরের কক্ষপথে উন্নীত হয়। যে তত্ত্বের সাহায্যে কঠিন পদার্থের তড়িৎ পরিবহন ধর্ম বর্ণনা করা হয় সেটিই ব্যান্ড তত্ত্ব। এগুলো একদম বেসিক, তাই বেশি কিছু বললাম না।
আমরা এখন জানব শক্তি স্তর ও শক্তি ব্যান্ড সম্পর্কে। শক্তিস্তর হচ্ছে ইলেক্ট্রনের বিভিন্ন কক্ষপথের স্তর। উপরের চিত্রে ইলেক্ট্রনের শক্তিস্তর দেখানো হয়েছে। প্রথম কক্ষপথ হচ্ছে প্রথম শক্তিস্তর, এভাবে ২য় ও ৩য় কক্ষপথ যথাক্রমে ২য় ও ৩য় শক্তিস্তর।
অপরদিকে শক্তি ব্যান্ড হচ্ছে একই কক্ষপথে আবর্তনরত ইলেকট্রন গুলোর শক্তির সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মানের পাল্লা। উপরের চিত্রে শক্তি ব্যান্ড দেখানো হয়েছে। এক্ষেত্রে ১ম কক্ষপথের ইলেকট্রন দ্বারা সৃষ্ট শক্তি ব্যান্ড হচ্ছে ১ম শক্তি ব্যান্ড, এবং ২য় ও ৩য় কক্ষপথ দ্বারা সৃষ্ট শক্তি ব্যান্ড হচ্ছে ২য় ও ৩য় শক্তি ব্যান্ড। শক্তি ব্যান্ড প্রধাণত ৩ ধরণের।
এখন, আমরা জানি একটি মুক্ত ইলেক্ট্রনের জন্য শ্রডিংগারের সমীকরণ হচ্ছে ${d^{2}\Psi}\over{dx^{2}}$ + ${8\pi^{2}m}\over{h^{2}}$${(E - V)\Psi} = 0$ ...... (1)
যাকে সমাধান করলে আমরা পাই,
$\Psi = Ce^{±2πix{\sqrt{2m(E-V)}}\over{h}}$ ........ (2)
যেহেতু $e^{ix} = isinx + cosx$
আবার মুক্ত ইলেকট্রনের গতিশক্তি,
= $E - V$
= ${1}\over{2}{mv^{2}}$
= ${p^{2}}\over{2m}$ যেখানে, $P =$ ভরবেগ
আবার, ব্রগলী সমীকরণ থেকে পাই, $p = {{h}\over{\lambda}}$ যেখানে $\lambda =$ তরঙ্গদৈর্ঘ্য
আবার, তরঙ্গসংখ্যা $n = {{2\pi}\over{\lambda}}$
সুতরাং, $P = {{hN}\over{2\pi}}$ এবং ${E - V} = {{h^{2}N^{2}}\over{8\pi^{2}m}}$
অর্থাৎ, $N$ $= 2{\pi}{{\sqrt{2m(E-V)}}\over{h}}$ ...... (3)
এই মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই, $\Psi = Ce^{±iNx}$ ..... (4)
কিন্তু স্ফটিকের ভেতর বিভব ক্ষেত্র ধ্রুবক না, সুতরাং সমীকরণে স্থিতিশক্তি $V, x$ এর ভাংশন হবে
${d^{2}\Psi}\over{dx^{2}}$ + ${8\pi^{2}m}\over{h^{2}}$${[E - V(x)]\Psi} = 0$ ...... (5)
যার সমাধান বিজ্ঞানী ব্লোচ নিম্নরূপে দেন,
$\Psi(x) = U_{N}(x)e^{±ikx}$
এখানে $U_N$ একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন। যখন ইলেক্ট্রনটি $x$ দিকে গতিশীল থাকে তখন $U_{N}(x)$ এর মান পরিবর্তন হয়। এবং ল্যাটিস ব্যবধানের দুই প্রান্ত বিন্দুতে পরিবর্তিত না হয়ে থাকে। তখন, $U_{N}(x+a) = U_{N}(x)$ যেখানে $a$ হচ্ছে ল্যাটিস ধ্রুবক এবং $\Psi(x)$ হচ্ছে ব্লোচ ফাংশন। $U_{N}(x)$ এর রূপ স্ফটিকের ভেতরের দিকের ওপর নির্ভরশীল। আবার কেন্দ্রের নিকটে স্থিতিশক্তির মান শূন্য কিন্তু পার্শ্ববর্তী দুটি কেন্দ্রের মধ্যের অর্ধদূরত্বের বিন্দুতে এর মান সর্বোচ্চ তথা $V_0$ হয়। এছাড়াও স্থৈতিক উচ্চতা $V_0$ এবং বিস্তার $w$ এর গুণফল সর্বদা ধ্রুবক থাকে।
অর্থাৎ, $V_{0} = {1\over{w}}$
তখন,
$cos(Na) = p{{sinN \alpha a}\over{\alpha a}} + cos\alpha a$ ........ (6)
এখানে, $P = {{4\pi^{2}ma}\over{h^{2}}}V_{0}w$ এবং, $\alpha = {{2\pi\sqrt{2mE}}\over{h}}$
এখানে, $N$ বাস্তব হলে $cosN\alpha$ এর মান কেবল $+1$ থেকে $-1$ এর মধ্যে পরিবর্তিত হবে। নিচে ${\alpha}a$ এর মান চিত্রায়িত করা হল।
$\alpha$ এবং $E$ এর সম্পর্ক থেকে ইলেক্ট্রন শক্তির মান নির্ণয় করা যায়। এবং চিত্র থেকে আমরা দেখতে পারি যে শক্তি যতই বৃদ্ধি পায় শক্তি এলাকার বিস্তার ততই বৃদ্ধি পায়, এবং এই বিস্তার $p$ এর ওপর নির্ভর করে। যখন $p → ∞$ তখন অনুমোদিত এলাকা আলাদা স্তরে পরিণত হয়, যখন $\alpha{a} = n\pi$, এবং $n = ±ve$ । আবার $p → 0$ হলে নিষিদ্ধ অঞ্চল থাকে না, ইলেক্ট্রন মুক্তভাবে বিচরণ করে। এতে ইলেক্ট্রনের শক্তি কোন না কোন এলাকার মধ্যে থাকবে এবং এর শক্তি বর্ণালী অনুমোদিত ও নিষিদ্ধ এলাকায় বিভক্ত থাকে।
চেষ্টা করেছি শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ দিয়ে ব্যান্ড তত্ত্বের ব্যাখা দেয়ার। কতটুকু পেরেছি, জানি না। এত বড় বোরিং আর্টিকেল পড়ার জন্য আপনাকে অসংখ্য ধন্যবাদ। পদার্থবিজ্ঞান কে ভালোবাসুন, গণিতকে ভালোবাসুন। গণিতের চেয়ে সুন্দর কিছুই নেই। পরবর্তী আর্টিকেলে দ্রুত পাবলিশ করার চেষ্টা করব, সুস্থ থাকুন। যেকোন ধরণের বানান ভুল ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন। ধন্যবাদ।
ব্যান্ড তত্ত্ব
ব্যান্ড তত্ত্ব বা Band Theory শুরু করবার আগে আমরা একটা ছোট জিনিস মনে করার চেষ্টা করব। আমরা সবাই জানি যে পরমাণুর ভেতরে ইলেক্ট্রন নিউক্লিয়াসকে কেন্দ্র করে নির্দিষ্ট কক্ষপথে আবর্তন করে। এবং কক্ষপথের নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধ রয়েছে একই সাথে রয়েছে ইলেক্ট্রনের নির্দিষ্ট শক্তি। যা নির্ভর করে কক্ষপথ ও সেই কক্ষপথের ব্যাসার্ধের ওপর। এবং ইলেক্ট্রনকে অতিরিক্ত শক্তি দিলে তা পরের কক্ষপথে উন্নীত হয়। যে তত্ত্বের সাহায্যে কঠিন পদার্থের তড়িৎ পরিবহন ধর্ম বর্ণনা করা হয় সেটিই ব্যান্ড তত্ত্ব। এগুলো একদম বেসিক, তাই বেশি কিছু বললাম না।
আমরা এখন জানব শক্তি স্তর ও শক্তি ব্যান্ড সম্পর্কে। শক্তিস্তর হচ্ছে ইলেক্ট্রনের বিভিন্ন কক্ষপথের স্তর। উপরের চিত্রে ইলেক্ট্রনের শক্তিস্তর দেখানো হয়েছে। প্রথম কক্ষপথ হচ্ছে প্রথম শক্তিস্তর, এভাবে ২য় ও ৩য় কক্ষপথ যথাক্রমে ২য় ও ৩য় শক্তিস্তর।
অপরদিকে শক্তি ব্যান্ড হচ্ছে একই কক্ষপথে আবর্তনরত ইলেকট্রন গুলোর শক্তির সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মানের পাল্লা। উপরের চিত্রে শক্তি ব্যান্ড দেখানো হয়েছে। এক্ষেত্রে ১ম কক্ষপথের ইলেকট্রন দ্বারা সৃষ্ট শক্তি ব্যান্ড হচ্ছে ১ম শক্তি ব্যান্ড, এবং ২য় ও ৩য় কক্ষপথ দ্বারা সৃষ্ট শক্তি ব্যান্ড হচ্ছে ২য় ও ৩য় শক্তি ব্যান্ড। শক্তি ব্যান্ড প্রধাণত ৩ ধরণের।
- যোজন ব্যান্ড
- পরিবহন ব্যান্ড
- নিষিদ্ধ ব্যান্ড
এখন, আমরা জানি একটি মুক্ত ইলেক্ট্রনের জন্য শ্রডিংগারের সমীকরণ হচ্ছে ${d^{2}\Psi}\over{dx^{2}}$ + ${8\pi^{2}m}\over{h^{2}}$${(E - V)\Psi} = 0$ ...... (1)
যাকে সমাধান করলে আমরা পাই,
$\Psi = Ce^{±2πix{\sqrt{2m(E-V)}}\over{h}}$ ........ (2)
যেহেতু $e^{ix} = isinx + cosx$
আবার মুক্ত ইলেকট্রনের গতিশক্তি,
= $E - V$
= ${1}\over{2}{mv^{2}}$
= ${p^{2}}\over{2m}$ যেখানে, $P =$ ভরবেগ
আবার, ব্রগলী সমীকরণ থেকে পাই, $p = {{h}\over{\lambda}}$ যেখানে $\lambda =$ তরঙ্গদৈর্ঘ্য
আবার, তরঙ্গসংখ্যা $n = {{2\pi}\over{\lambda}}$
সুতরাং, $P = {{hN}\over{2\pi}}$ এবং ${E - V} = {{h^{2}N^{2}}\over{8\pi^{2}m}}$
অর্থাৎ, $N$ $= 2{\pi}{{\sqrt{2m(E-V)}}\over{h}}$ ...... (3)
এই মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই, $\Psi = Ce^{±iNx}$ ..... (4)
কিন্তু স্ফটিকের ভেতর বিভব ক্ষেত্র ধ্রুবক না, সুতরাং সমীকরণে স্থিতিশক্তি $V, x$ এর ভাংশন হবে
${d^{2}\Psi}\over{dx^{2}}$ + ${8\pi^{2}m}\over{h^{2}}$${[E - V(x)]\Psi} = 0$ ...... (5)
যার সমাধান বিজ্ঞানী ব্লোচ নিম্নরূপে দেন,
$\Psi(x) = U_{N}(x)e^{±ikx}$
এখানে $U_N$ একটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন। যখন ইলেক্ট্রনটি $x$ দিকে গতিশীল থাকে তখন $U_{N}(x)$ এর মান পরিবর্তন হয়। এবং ল্যাটিস ব্যবধানের দুই প্রান্ত বিন্দুতে পরিবর্তিত না হয়ে থাকে। তখন, $U_{N}(x+a) = U_{N}(x)$ যেখানে $a$ হচ্ছে ল্যাটিস ধ্রুবক এবং $\Psi(x)$ হচ্ছে ব্লোচ ফাংশন। $U_{N}(x)$ এর রূপ স্ফটিকের ভেতরের দিকের ওপর নির্ভরশীল। আবার কেন্দ্রের নিকটে স্থিতিশক্তির মান শূন্য কিন্তু পার্শ্ববর্তী দুটি কেন্দ্রের মধ্যের অর্ধদূরত্বের বিন্দুতে এর মান সর্বোচ্চ তথা $V_0$ হয়। এছাড়াও স্থৈতিক উচ্চতা $V_0$ এবং বিস্তার $w$ এর গুণফল সর্বদা ধ্রুবক থাকে।
অর্থাৎ, $V_{0} = {1\over{w}}$
তখন,
$cos(Na) = p{{sinN \alpha a}\over{\alpha a}} + cos\alpha a$ ........ (6)
এখানে, $P = {{4\pi^{2}ma}\over{h^{2}}}V_{0}w$ এবং, $\alpha = {{2\pi\sqrt{2mE}}\over{h}}$
এখানে, $N$ বাস্তব হলে $cosN\alpha$ এর মান কেবল $+1$ থেকে $-1$ এর মধ্যে পরিবর্তিত হবে। নিচে ${\alpha}a$ এর মান চিত্রায়িত করা হল।
$\alpha$ এবং $E$ এর সম্পর্ক থেকে ইলেক্ট্রন শক্তির মান নির্ণয় করা যায়। এবং চিত্র থেকে আমরা দেখতে পারি যে শক্তি যতই বৃদ্ধি পায় শক্তি এলাকার বিস্তার ততই বৃদ্ধি পায়, এবং এই বিস্তার $p$ এর ওপর নির্ভর করে। যখন $p → ∞$ তখন অনুমোদিত এলাকা আলাদা স্তরে পরিণত হয়, যখন $\alpha{a} = n\pi$, এবং $n = ±ve$ । আবার $p → 0$ হলে নিষিদ্ধ অঞ্চল থাকে না, ইলেক্ট্রন মুক্তভাবে বিচরণ করে। এতে ইলেক্ট্রনের শক্তি কোন না কোন এলাকার মধ্যে থাকবে এবং এর শক্তি বর্ণালী অনুমোদিত ও নিষিদ্ধ এলাকায় বিভক্ত থাকে।
চেষ্টা করেছি শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণ দিয়ে ব্যান্ড তত্ত্বের ব্যাখা দেয়ার। কতটুকু পেরেছি, জানি না। এত বড় বোরিং আর্টিকেল পড়ার জন্য আপনাকে অসংখ্য ধন্যবাদ। পদার্থবিজ্ঞান কে ভালোবাসুন, গণিতকে ভালোবাসুন। গণিতের চেয়ে সুন্দর কিছুই নেই। পরবর্তী আর্টিকেলে দ্রুত পাবলিশ করার চেষ্টা করব, সুস্থ থাকুন। যেকোন ধরণের বানান ভুল ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন। ধন্যবাদ।
2 comments